II.6 Flambage encastré/pivotant avec flexion (impact excentrique)
Figure 5.









Force excentrique

Essais avec baguettes de sapin encastrées/pivotantes.
Les rapports des fragments d’une baguette de 1 mètre avec flèche de 10 % à 12 % ont été les suivants :
- La baguette pivote autour d’un point à 12 cm de l’axe, le flambage est dans la direction du pivot le rapport est de 39,5 % sous une charge de 45 N
- La baguette pivote dans le sens opposé du pivot à 12 cm : rapport 44 %, force 45 N.
- Un cas concret serait une pointe épaisse de 10 mm dont la force agirait à 4 mm du centre. Dans ce cas le rapport de rupture à prévoir est de 43 %
12 % d’excentricité peu correspondre à une pointe pliée par l’impact dans le sens de l’épaisseur.

Les essais avec des patrons en carton ont donné les résultats suivants :
- charge central, 40 %
- charge excentrée de 12 % avec courbure interne rapport 42,5 %
- charge excentrée de 12 % avec courbure externe. rapport 38,3 %
La différence entre baguette et carton n’a pas pu être élucidée mais elle n’est pas significative. Il est préférable d’accepter les résultats du carton où l’expérience a pu être reproduite plus facilement.
L’impact excentrique n’a pas pu être abordé par la théorie.
Expérimentalement on a trouvé que le flambage peut être dû à des forces en dessous des forces critiques.
Le flambage peut se produire aléatoirement à l’extérieur, dans la direction de l’excentricité ou dans le sens opposé à l’intérieur.
Le flambage interne soulage la contrainte à l’emmanchement : si les sections sont égales, la fracture se produira dans la zone médiane/apicale.
Si le flambage est externe, la contrainte est plus importante à l’emmanchement que dans la zone de courbure maximale. Lors de la reconstruction des pointes où seulement la base manque il ne faut pas toujours diagnostiquer une base fendue parce que la fracture même d’une base solide peut être due à un impact excentrique avec flambage externe.Les chiffres indiqués correspondent à des sections uniformes. On sait que dans ce cas le rayons de courbure minimal est dans une zone déportée vers le bout de 15 % environ : à la place de 40 % la rupture se produit à 34 %. On retrouve la même valeur lorsque le patron a une section variable en fonction de la pointe réelle. Cette valeur peut varier entre 32,2 % et 35,8 % en fonction de l’excentricité de l’impact.

II.7 Flambage encastré/libre :

Dans certains cas on a affaire à un flambage encastré/libre. Ce mode s’assimile au cas précédent en considérant le milieu de la courbe pivotant/pivotant comme un encastrement dont l’axe est parallèle avec la force mais décalé latéralement.
Nous avons ce phénomène lorsque le bout de la pointe glisse latéralement sur la cible à la suite d’une frappe excentrée quand la direction du vol ne coïncide pas avec la direction de l’axe du projectile.
Les équations sont identiques à celle du mode pivotant/pivotant mais la longueur efficace est le double de la longueur réelle de la pointe.
En mode encastré/libre la rupture se produit à l’emmanchement sauf si la pointe est à “égale résistance” ce qui correspond à nos essais de baguette à surface triangulaire.

II.8 Flambage pivotant/pivotant :
Figure 6. Fractures multiples (après l’endommagement du bout).



Cas des bases fragiles : (bases fendues ou bases rétrécies)
Le flambage médian/apical a fait casser la base et le flambage devient pivotant/pivotant.

Cas des bases solides :

(Voir Figure 1b )


La situation du flambage pivotant du fragment proximal est facile à analyser. D’une part la section du fragment proximal est à peu près uniforme, d’autre part la théorie classique permet de connaître les courbures en fonction de forces de frappe différentes :
La rupture en plus se fait toujours au milieu de la pièce à section uniforme.

Équation 4.

Dans cette équation la valeur “e” représente l’excentricité réelle de l’impact, connue ou supposée, donc la formule permet de calculer exactement la forme de la courbure et son amplitude par rapport à la courbure maximale de rupture.

La courbure des barres peut adopter des formes plus variées en fonction des sections lorsqu’elles sont variables et correspondent ainsi à la forme des pointes de sagaies. La théorie devient alors impuissante et avant de tomber dans le piège de nouvelles théories inventées, j’ai adopté la méthode expérimentale.

D’abord j’ai utilisé des baguettes en bois d’un mètre pour avoir la flexibilité nécessaire.
Les essais du rapport pivotant/pivotant de forme triangulaire ont donné le résultat d’un tiers/deux tiers ainsi que la baguette à section uniforme a eu la courbure maximale effectivement autour de 40 %.
Ces valeurs ont été confirmées par des expériences avec des patrons en carton dont les modèles ont été choisis pour être adaptables aux pièces d’IstállóskŒ mais qui ont pu être facilement étendus et appliqués aux pointes de Divje babe°I, de Dzeravá skala et de Potoãka zijalka.
Pour appliquer les modèles il faut convertir les pointes réelles en pointes équivalentes plates, de sorte que les variations d’épaisseurs au carré et au cube soient répercutées en largeur équivalentes. En général l’épaisseur augmente vers la base, il en résulte que les surface corrigées seront plus larges que celle des pointes. Nous pensons que le plus souvent le modèle large sera le modèle à choisir pour les rapports des fractures.

Modèles de référence longueur 100 à 200 mm (hors emmanchement) encastré/pivotant, cas Euler 3 :

Le case Euler 3 conduit à une rupture apicale de 34,6 % pour une section constante et un rapport entre 30 et 34 % lorsque la pièce est pointue.
lorsque la forme du patron est assez régulière il n’est pas nécessaire de procéder à des expériences de flambage et on peut appliquer des règles conventionnelles :

Rapport de fracture en fonction du rapport des largeurs du patron au solmet et à la base : r = A1/A0

À la limite r = 34,6 %, à partir de r = 0,2 pn peut
appliquer une valeur de 34 %. On voit que le plus
souvent le rapport ne change pas en fonction de la forme.
Puisque le rapport limite de 34,6 % est indépendante de
la longueur, pour les patrons de largeur pas trop

excessive le rapport reste 34 % indépendamment de la
pente des bords.
Pour les patrons larges autpur de r = 0,1 on peut
appliquer un rapport de 33 %.
Pour les patrons excessivement larges, r = 0,5, le rapport devient 30 % mais alors il est recommandé de déterminer la valeur exacte par une expérience du flambage du patron.
Ces règles s’appliquent aux formes régulières :










Modèles de référence longueur 100 à 200 mm (hors emmanchement) pivotant/pivotant cas Euler 1 :

Le rapport des fragments est voisin de 1 sauf si la largeur du patron varie considérablement :
Règles à retenir :
rapport des largeurs r autour de 0,3 rapport ders fragments 46,5 %
autour de 0,5 = 48 %
autour de 0,2 = 44 %

Pour les fragments proximaux après
la fracture apicale 48 - 49 %

Forme particulière avec rétrécissement prononcé
de la partie apicale : 41 %

Les rapports des fragmentations :

Pour créer des schémas de surface équivalente nous devons établir un dessin où la largeur est modifiée en fonction du cube de l’épaisseur et un autre où la largeur tient compte des variations du carré de l’épaisseur.

Le premier schéma permet de préciser la forme de la courbure donc l’endroit de la fracture.
Le deuxième permet d’examiner la résistance des différentes parties de la pointe. Le but est essentiellement l’estimation de la fragilité des bases. Lorsque la largeur de la base corrigée est inférieure au double de la largeur maximale de flambage encastré/pivotant on peut annoncer que la fracture au premier flambage encastré/pivotant s’est produite à la base au lieu de la zone médiane et la suite du flambage est devenue pivotant/pivotant avec les rapports correspondants. Ce cas est celui des bases fragiles fendues.

Si la pièce est fracturée à l’endroit du premier flambage encastré/pivotant on peut en déduire que la base a résisté. La base était soit massive et plus large que la largeur à la fracture apicale, soit massive ou fendue si la base corrigée est deux fois plus large.

Ces deux approximations ne sont plus admissibles dans le cas de pièces en bois de cervidés où les déformations peuvent être très importantes.

Les expériences avec excentricités ajoutent à la liste des rapports de rupture des valeurs dont on peut tenir compte lorsque la reconstruction devient plus logique en supposant une frappe excentrique ou une forme initiale de la pointe imparfaitement alignée.

En cas de frappe excentrique la pointe est soumise à une flexion et une compression. Elle peut se courber dans le sens de la flexion et alors la contrainte à l’emmanchement devient plus importante ou dans le sens opposé à la flexion ce qui soulage la zone de l’emmanchement.

Un impact excentrique modifie légèrement les rapports des Figure 8, 9 et 11. Il est donc fort possible que les fragments qui se prêtent difficilement à la reconstruction avec les rapports choisis ont dû subir un flambage excentrique. Une modification des rapports de ± 2 points, en remplaçant par exemple 35 % par 33 ou 37 %, permet parfois d’obtenir des formes plus conformes à l’ensemble des pointes d’un site étudié. C’est la faiblesse de la méthode par flambages, on ne peut pas avoir une certitude absolue sur les formes obtenues de sorte qu’il faut tenir compte aussi de l’aspect visuel de la pièce et de choisir une reconstruction parmi les schémas possibles, celle qui ressemble à d’autres pointes entières ou reconstruites, présentes dans le site à une profondeur identique.

Très souvent la forme égalisée de la pointe est difficilement assimilable à l’un des modèles de ré&férence.
On procède alors au découpage d’un patron qui permet de faire des expériences de flambage. L’observation de l’endroit des courbures maximales donne les points de fracture présumés.

IV 1. Rupture par flexion pure

Lors d’une étude précédente (Horusitzky 2004) j’ai abordé le problème des résistances par les lances avec poussée oblique.
Dans le cas des lances en effet la force de compression longitudinale est relativement faible.
Dans le domaine des sagaies à long rayon d’action la flexion pure peut exister aussi lorsque le projectile s’enfonce dans la proie et la pointe reste bloquée sans rencontrer un obstacle c’est-à-dire un os dur.
Le manche reste rattaché à l’animal et subit des flexions lorsque l’animal se sauve parmi la végétation ou le manche fléchit par la gravitation.

Les pointes au bout de l’apex intact et cassées à la base rentrent dans cette catégorie.
Il existe une situation ou le manche est cassé à la suite d’une flexion pure :
La pointe rencontre un obstacle mou pénétrable. Elle s’enfonce profondément et perd de son énergie par le frottement du tissu traversé, jusqu’à une butée qui l’arrête. L’énergie résiduelle est alors en dessous de la force critique de la pointe dont le flambage, en plus, est empêché par les tissus environnants.
L’énergie résiduelle est absorbée
- par la vibration et/ou le flambage du manche
- par la flexion oscillante.
La cassure au niveau de l’emmanchement peut résulter aussi par la gravitation superposée.
Figure 12.


IV.2 Durée du flambage pivotant/pivotant :
Calculs au cas d’un flambage pivotant/pivotant.
L’impact dynamique est un problème ardu qui n’est pas traité dans les manuels de résistance des matériaux. Les travaux de Taub permettent d’avoir une idée sur les fractures lorsque la charge a une durée limitée mais la question d’une force progressive n’est pas traitée. Nous essayons de contourner cette carence :
Nous savons que le flambage ne se manifeste qu’au voisinage immédiat de la force critique.
Cette force critique est toujours largement atteinte lors d’un tir de sagaie mais la force peut être progressive en fonction de l’endommagement du bout de l’apex (écrasement, encastrement, cisaillement). Nous saisissons l’instant où la force résistant à une pénétration devient égale à la force critique :

à partir de cet instant la force de compression de la pointe reste constante et égale à Fcritique :
Équations 5.

où X = le raccourcissement du trajet de la sagaie du fait de la courbure de la pointe
Vo = vitesse de l’impact après le freinage au cours de l’endommagement du bout
Vx = vitesse après le flambage de la pointe terminé par la rupture. La vitesse résiduelle est suffisante pour provoquer un deuxième ou troisième flambage.
f_lèche = courbure maximale avant la rupture, de l’ordre de 12 % de la longueur L.
M = la masse du manche concentrée au niveau de l’emmanchement.

La durée du flambage dépend de la distance de raccourcissement X et de V_moyenne. Le temps de la formation de la courbure dépend du temps d’oscillation libre d’une barre encastrée/pivotante :
le rapport du temps de parcours de “X” et le temps d’une période d’oscillation libre est “b”.
Équation 6.
Le rapport entre la force et la force critique “a” est supérieur à 1.

On conçoit que si la force critique est nécessaire pour le flambage statique, il faut un supplément de force pour déplacer les masses élémentaires de la pointe. Cette force supplémentaire est prélevée automatiquement sur l’énergie cinétique de la sagaie et se calcule par les Équations 7 :
Équation 7.
Les courbes pour b=0,112, b=0,078 et 5 % (7,5 mm) d’excentricité sont représentée par la Figure 11.
12 % de flèche (rupture) est obtenu avec 75% de force supplémentaire lorsque la vitesse est de 10 m/sec.
(le temps est plus court pour produire le flambage).
La rupture est atteinte avec seulement 25 % de force supplémentaire lorsque la vitesse est seulement de
7 m/sec (le temps est plus long pour produire le flambage).




Les énergies mises en jeu :
Supposons que la sagaie est animée d’une vitesse de 10 m/sec après l’ endommagement du bout de l’apex.
Équation 8.
Après le flambage de la pointe la vitesse est réduite de 0,43 m/s (4,3 %) donc l’énergie reste presque intacte pour le flambage et oscillations du manche.
Si la vitesse après la destruction du bout de l’apex reste seulement 7 m/sec, c’est-à-dire on augmente la durée du temps de flambage, b = 0,112, la perte de vitesse est de 0,64 m/sec, donc 9 %, mais l’énergie disponible reste encore considérable.

IV.3 Le mode de deuxième ordre.
Parfois les ruptures se produisent à des endroits inattendus. On peut penser alors à des impacts fortement excentrés mais aussi aux formes de flambage d’ordre supérieur.
Un mode supérieur ne peut se produire que si le premier mode est empêché.
On peut envisager une situation semblable lors de l’encastrement dans une région de thorax ou les côtes peuvent bloquer le développement du mode fondamental.

Figure 13bis.
Apparition du mode de flambage d’ordre 2.

# 22/10/06