Les pointes osseuses, en particulier les pointes à base fendue, ont une importance considérable au début du Paléolithique Supérieure.
Ces pointes sont le plus souvent fracturées. Il est très important de connaître les conditions des fractures pour avoir une image de la pointe originale.
Les fractures peuvent avoir des causes multiples : à l’usage, dans le gisement ou pendant les fouilles (ou même au Musée).
Nous nous limitons au problème de fracture pendant la chasse, ce qui suppose que, par des méthodes adéquates, on a pu préalablement écarter les fragments fracturés sous terre.

Les scénarios de chasse sont multiples, notre scénario type préconisé est le suivant :
- les sagaies frappent un obstacle dur en ligne droite,
- la déformation et la fracture de la pointe est rapide de sorte que la sagaie n’a pas le temps de s’immobiliser et de commencer le flambage propre de la hampe.
- à l’impact le bout de la pointe est fracturé sur 15 mm, il en reste une section de 4 à 5 mm de diamètre. La force agit sur cette surface pour provoquer le flambage. La pointe prend alors une forme courbée dont la flèche (= la courbure) est telle que le matériau ne résiste plus : c’est la contrainte ultime propre à l’os ou au bois de cervidés.
Pour étudier les lois des fractures, évidemment, il serait possible de fabriquer une centaine de pointes et les frapper avec une énergie précise et constater les dégâts.

Cette méthode est un peu fatigante et j’ai développé une méthode de simulation où des bouts de carton judicieusement découpés permettent d’obtenir la courbure des pointes de formes diverses.
Le remplacement des pointes par un carton mince doit être validé : le transfert des épaisseurs au cube sur la largeur risque de ne pas être rigoureux. La solution théorique d’un problème pareil peut être une tâche séduisante, sans garantie de succès, mais de toute manière très longue et disproportionnée.
J’ai développé un modèle standard de forme similaire à une pointe réelle et une méthode de calcul permettant de traiter le flambage des barres autres que la baguette à section uniforme.

Comme principe de base nous considérons que le temps de réponse de la pointe, exprimé par la fréquence d’oscillation d’une baguette encastré/pivotant, est très court par rapport à celle de la hampe. Cette fréquence est calculable dans le cas d’une baguette à section constante. Pour une section conique les chiffres sont inconnus mais les ordres de grandeur sont très probablement les mêmes.

Le but des calculs et des simulations est la détermination des zones de rayons de courbure minimal qui correspondent aux zones de fracture.

L’étude est divisée en trois parties :

1) La solution à section constante permet d’apprécier l’effet du raccourcissement de la corde. La baguette à section constante simulée par une bande de carton à largeur constante permet de vérifier l’influence du facteur “µ” et de chiffrer l’erreur en fonction de la flèche à la limite de rupture.

2) La solution de forme conique permet de déterminer les zones de rupture sans faire une simulation par carton. On profite de la détermination des erreurs effectuée au chapitre précédent. Validation de la méthode de simulation surtout quand les rapports entre le moment d’inertie du bout et de la base sont importants. Pour chaque rapport des moments d’inertie on déterminera la zone de rupture en dressant une table avec les coordonnées de la courbure maximale et avec celles du rayon de courbure minimal.

3) Cas fréquent où la forme de la pointe n’est pas conique. La patron de simulation a alors une forme quelconque. L’essai de flambage permet de localiser facilement la courbure maximale. Les calculs sont impossibles. Par rapport à la courbure maximale on définit l’endroit du rayon de courbure minimal en s’inspirant des résultats du Chapitre 2. Pour les formes très particulières on ne peut pas prévoir le rapprochement du point de fracture vers le bout. Il faut alors tenter la détermination du rayon de courbure graphiquement.

Pour les baguettes à section constante et coniques le calcul est possible. La simulation par carton permet de valider les calculs, qui bien que rigoureux, ont à la base de simplifications justifiées dans les constructions de génie civil mais peuvent ne pas être admissibles pour les flèches ayant des courbures prononcées à la limite de rupture des pointes osseuses.

Mais commençons par la présentation du problème de baguette à section constante.

II. Première forme calculable : la baguette

Les calculs de flambage d’une baguette à section constante incorporent deux facteurs de simplification :
- dans le rayon de courbure on néglige le terme “µ”
- on ne tient pas compte du raccourcissement de la corde d’une pointe courbée.


La forme d’une barre soumise au flambage est régie par les équations d’Euler (1748) :


E = module d’élasticité (module de Young) en N/m²
L = longueur totale de la pointe (sans le bout de l’apex endommagé) (en mètre)
I = moment d’inertie (en m⁴)
FL = Force agissant dans la direction de l’axe “z” en Newton
FT = Force agissant dans la direction transversale “y” en Newton.

En réalité les courbures pour les pointes sont telles que le dénominateur µ n’est pas totalement négligeable.
La constante Cte correspond à la flèche limite de rupture qui dépend de la contrainte maximale que la baguette peut supporter. On anticipe le résultat :
Cte = 1/7,4 mètre pour une courbure de 11 mm d’une baguette de 150 mm épaisse de 6 mm.

II. 1 La flèche maximale des baguettes
Dans l’exemple qui suit la baguette à section constante est en bois de cerf ayant une épaisseur uniforme
b = 6 mm .
Les valeurs de s et de E pour le bois de cerf : 160 MPa, E = 7,4 GPa. (Currey,1984) ou 7,1 GPa (Currey, 2004).
La dérivé seconde de “y” donne le rayon de courbure dont la valeur minimale est calculée pour différentes valeurs de la flèche maximale.

Colonne A : inverse du rayon de courbure aboutissant aux valeurs de F
Colonne B : module d’élasticité d’après Currey (2004)
Colonne C : demi-épaisseur des échantillon s étudiés
Colonne F : ultime “yield-stress + post-yield-stress” de Currey (2004) cerf, renne et ours brun

II.2 Correction de courbure :

La longueur de la baguette reste inchangée (c’est-à-dire on néglige la faible compression due à la force).
Les points d’extrémité de la courbe calculée ne changent pas, donc les proportions restent les mêmes le long de l’axe “z” et le long de la baguette incurvée.
Les extrémités de la pointe réelle se rapprochent du fait de la courbure. Pour une pointe de 150 mm avec 10 mm de flèche le rapprochement est de 1,6 mm, mais ce raccourcissement n’est pas réparti à égalité entre l’apex et la partie proximale. On rétablit la proportion de 39,8/60,2 en réduisant la longueur de l’apex et en augmentant légèrement la partie proximale.
Pour une flèche de 11 mm l’erreur est de l’ordre de 0,3 %. (Voir Table 2 et Chapitre II.5)

Valeurs de la flèche maximale de rupture d’une baguette à section constante :
- pour une longueur L = 200 mm, la flèche maximale est de 20 mm
- pour une longueur L = 150 mm, la flèche maximale est de 11 mm
- et pour L = 100 mm, la flèche maximale est de 5 mm.

II.3 La correction µ

La correction µ intervient à deux niveaux :
- correction à cause de l’omission de µ dans l’équation différentielle,
- correction du résultat pour déterminer le rayon de courbure minimal correspondant au maximum de contrainte.
Première opération : détermination expérimentale de la correction qui s’impose à cause de l’omission
du terme que l’on appellera correction “µ “.

Comparaison de la forme calculée où on ne tient pas compte de la correction µ avec le carton soumis au flambage :

L’essai permet d’identifier l’importance de la correction “µ”
Essais avec une baguette de section uniforme de longueur de 150 mm.
La solution des équations d’Euler sont valables pour des courbures peu prononcées.
Nous nous posons la question sur la validité de la solution simplifiée à la limite de rupture des baguettes en bois de cerf (11 mm).
Les essais au carton doivent obéir aux règles de flambage calculées lorsque la flèche est faible.
À la suite d’une série d’essais nous avons retrouvé le rapport 40 % ( = 39,8 %).
Quelques résultats aléatoires sont imputables au mode opératoire et aux défauts du carton.
Les essais avec une bande de largeur constante permet donc de certifier les caractéristiques convenable du carton pour les essais futures.
Le même montage avec le même carton a permis de contrôler la variation du résultat avec une flèche
plus importante où le facteur µ doit intervenir.

Une bande de carton flambé obéit à la nature et suit la loi incorporant le facteur µ .
Les essais ont permis de comparer les courbure théoriques et réelles dans le cas d’une flèche faible et forte.
Une erreur de µ de 64/150 - 40 = 2,2 % a été constaté pour une flèche largement au delà de la limite de rupture : 17 mm.


On peut prévoir que les erreurs cumulées de courbure et de µ ne
dépassant pas 1 % pour une baguette de 150 mm.
Cette erreur pour les pointes dont la courbure est plus proche de 6 mm,
et surtout pour les pièces en bois de renne et en os avec des courbures
de 4 mm, serait limitée aux erreurs de courbure très faibles et l’erreur µ
pourra être négligée.

II. 4 Pseudo-solution de l’équation différentielle avec le facteur µ

Pour apprécier l’importance du facteur µ nous pouvons faire intervenir µ dans l’expression de F/EI. Il en résulte l’explication de l’écart entre la courbe calculée et la courbe de flambage au premier tiers de la baguette






II. 5 L’influence de la correction µ sur la position du rayon de courbure minimal :
La dérivée seconde de la fonction de la forme, divisée par la correction µ , donne l’inverse du rayon de courbure, et sa valeur maximale correspond à la contrainte maximale et à l’endroit de la cassure.

La position de la flèche maximale du calcul est invariable : 39,8 % (sans correction de courbure)
L’endroit de la contrainte maximale n’est pas indépendante de la flèche :

flèche 5 mm 1- 0,65 35 % Correction de courbure 0,068 % Correction µ : 0
flèche 10 mm 1- 0,645 35,5 % Correction de courbure 0,267 % (Correction µ 0,2 % ?)
flèche 11 mm Correction de courbure 0,322 % (Correction µ 0,2 % ?)
flèche 13 mm 1- 0,642 35,8 % Correction de courbure 0,445 % Correction µ : 0,43 %
.

Dans le cas de la baguette de 150 mm la flèche ne doit pas dépasser 11 mm.
La contrainte maximale est alors à 35,6 + 0,32 + 0,2/ ?/ = 36 %

La détermination de l’erreur µ est peu précise, il s’agit seulement d’une estimation.

Dans le cas de formes tronquées, comme on le verra plus tard, la flèche doit rester à 8 mm environ.
Il en résulte que les corrections de courbure et de µ sont plus faibles.

Dans le calcul de la localisation du rayon de courbure minimal le facteur µ est inclus dans les calculs.
La correction µ concerne uniquement la conséquence de l’omission de µ dans la solution des équations différentielles.

Table 2. Corrections de courbure

Les erreurs de courbure des formes coniques sont au Chapitre IV Table 8.
III. Deuxième forme calculable : le cône tronqué

Le cône tronqué permet de traiter des formes qui correspondent à des pointes réelles.
Le critère de forme cônique est que le moment d’inertie varie en fonction de la hauteur du cône de façon régulière, ce qui veut dire que le diamètre du cône varie linéairement en fonction de “z”. d = Kz
Compte tenu de ces résultats et de la variation du terme correcteur en fonction de la dérivé y’
dans le modèle standard nous pouvons faire intervenir la correction dès le début de la solution de l’équation différentielle.

Pour résoudre l’équation différentielle à coefficients variables nous devons procéder à des changements de variables successifs :



Premier changement de variable t = 1/z

La solution de l’équation dy/dz = 0 est obtenue à l’aide d’un Tableur.
Avec “k” et les constantes d’intégration “A” et “B” nous avons la forme de la pointe courbée.
L’amplitude reste fonction du rapport T/L qui est inconnu.
L’amplitude, c’est à dire la flèche maximale, est obtenu par les limites de rupture.
La courbure permet de déterminer visuellement la zone du rayon de courbure minimal.
Dans certains cas la courbure a tendance d’adopter un arc de cercle où la détermination
du rayon de courbure minimal nécessite la solution de la dérivée seconde.

Validation de la méthode de découpe de carton :
La simulation par un patron à épaisseur constante soulève certaines questions :
- la distance entre le bout et l’encastrement du patron est en moyenne supérieure à la longueur de la base mais on peut en tenir compte facilement,

- les forces exercés dans le sens de la diagonale ne contribuent que partiellement à la courbure de l’apex donc la courbure calculée sera plus proche du bout (“effet de patron”).

III.1 La flèche de rupture des pointes coniques encastrées/pivotantes :

Le rayon de courbure limite pour le bois de cerf d’une longueur de 150 mm est autour de 1/7,5 mètre. Pour le bois de renne il serait autour de 1/4,5 mètre.
Valeurs de s et de E pour le bois de cerf : 160 MPa, E = 7,1 GPa. (Currey, 2004)
Pour b : nous adoptons 6 mm pour la détermination de la flèche maximale du bois de cerf et 7,5 mm pour le renne.
Colonne A : flèche de rupture calculée par les tables de la Colonne G
Colonne B : inverse du rayon de courbure aboutissant aux valeurs de F
Colonne C : module d’élasticité d’après Currey (2004)
Colonne D : demi-épaisseur des échantillon s étudiés
Colonne E : ultime “yield-stress + post-yield-stress” de Currey (2004) cerf et renne
Colonne F : longueur renne ou cerf
Colonne G : Table de référence
Colonne H : rapports bout/base/longueur

Source :
Jihn D. Currey : Tensile yield in compact bone is determined by strain, post-yield behaviour by mineral content. Journal of Biomechanics 2004

Données communiquées récemment par J. D. Currey : La liste reçue contient les modules d’élasticité et la limite de contrainte par des essais de flexion. On constate une grande diversité suivant l’âge et l’origine des échantillons. Nous pouvons raisonnablement supposer que les anciens ont connu les meilleurs bois de cervidés pour fabriquer les pointes. Donc en choisissant les meilleures pièces de J.D. Currey nous pouvons estimer le choix des paléolithiques. Les bois de cerf le plus résistants de la liste ont une limite de rupture de 150 - 160 MPa comme dans l’article 2004; On en déduit que les limites en tension et en flexion sont comparables.
En revanche les échantillons solides ont un module d’élasticité de 12 GPa ce qui est en contradiction avec les les publications de Currey (1984 et 2004).

Currey (1984) : Essais de flexion. Limite de rupture 179 MPa, module de Young 7,4 GPa.
Currey J.D. (1984) The Mechanical Adaptations of Bones, University Press, Princeton, NJ /?/

III. 2 Différentes formes de pointes correspondant aux cônes tronqués et aux patrons triangulaires :
Le modèle de cône tronqué permet d’apprécier le comportement d’un grand nombre de pointes réelles
dont la rupture peut être connue sans faire des expériences de flambage. Chaque fois nous remplissons les tableaux de telle façon que la forme du patron de simulation soit triangulaire

III.21 Patron 5/50/140 (pointe fusiforme)
Table 4. Création de forme conique




Colonnes :
A = largeur
B = épaisseur
C = 3,14/64 x A x B^{3
E = forme du patron C/15,7 x 5
F et G = forme de la pointe correspondante}
H et I = forme du profil
Forme triangulaire du patron obtenue par ajustements successifs de la largeur A et de l’épaisseur B.
Modèle conique assimilé simulé par un patron triangulaire
de 5 mm x 50 mm x 140 mm.
Le modèle peut être considéré comme typique pour les pointes
aurignaciennes.
Largeur maximale 17,5 mm
Profil variant de 4 à 6 mm

III. 22 Patron 5/100/140 (pointe triangulaire)

Table 5. Création de pointe triangulaire



La procédure de la création des formes coniques assimilées.

La procédure pour obtenir les formes de pointes à partir du
calcul :

On commence par choisir un rapport dont on connaît par expérience qu’il permet d’obtenir une forme souhaitée.
Ensuite on manipule les épaisseurs et les largeurs dont la combinaison correspond à la forme désirée et la diagonale
de la forme du patron s’aligne le long d’une droite.

III. 23 Patron 5/60/190 (légèrement fusiforme)
Table 6. Création d’une pointe légèrement fusiforme





III. 3 Conclusion des formes coniques ou assimilées.

Nous avons examiné les formes qui peuvent être calculées à partir de la solution des équations d’Euler adaptées aux formes coniques.

Ces formes coniques peuvent être simulées par des patrons triangulaires.
Les patrons triangulaires peuvent correspondre à des formes coniques très variées y compris celle de pointes aurignaciennes typiques.

La prochaine étape est la vérification que la simulation par patron triangulaire découpé correspond à la courbure obtenue par les calculs de formes coniques.


La tâche suivante est l’utilisation de
patrons découpés.

Lorsque l’on remplace la pointe réelle à trois dimensions par un patron en carton à deux dimensions il faut vérifier les répercussions de cette simulation. Les formes coniques permettent de comparer les résultats calculés et les résultats expérimentaux.
Cette comparaison permettra d’utiliser les patrons avec le maximum de vraisemblance à la vérité lorsque les formes ne sont plus coniques et les patrons ne sont plus triangulaire.
Dans le cas de patrons, l’équivalent du courbe de l’épaisseur est représenté par une largeur parfois considérable.
Dans la pointe réelle les distances entre le bout est la base sont identiques pour toute la section. Pour obtenir un résultat analogue nous aurions intérêt à réaliser le patron avec une base circulaire pour que tous les points de la base soient à distance égale par rapport au bout. Ceci serait particulièrement important pour les pointes ou les moments d’inertie du bout et de la base ont un rapport important. Étant donné que la réalisation de l’encastrement circulaire n’est pas commode nous allons proposer au chapitre suivant, d’autres solutions plus accessibles.